Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы.

Способ Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы системы, (а как следует, и самой системы) при помощи Э.П. к ступенчатому виду, где все элементы матрицы, стоящие ниже главной диагонали – нули. При всем этом вероятны последующие случаи:

1) Если при помощи Э.П. расширенная матрица системы приведена к треугольному виду:

, (1.4)

т.е. ниже главной Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы. диагонали – нули, а все элементы главной диагонали нулю не равны, то система имеет единственное решение.

Приобретенная матрица (1.4) соответствует системе:

,

в какой последнее уравнение содержит одно неведомое.

Из таковой перевоплощенной системы все неведомые определяются без усилий, так именуемым, оборотным ходом.

2) Дальше, если в ступенчатом виде расширенной матрицы находится Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы. хотя бы одна строчка вида:

( ), где ,т.е

, (1.5)

то система несовместна. Таковой строке соответствует уравнение вида

х1 + х2 + …+ хn = , которое не имеет смысла.

3) Если же в ступенчатом виде расширенной матрицы последняя строчка, не считая диагонального элемента , имеет ещё ненулевые элементы, т.е.

, (1.6)

то система имеет нескончаемое огромное количество решений , т.е. является неопределённой. В данном случае Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы. n – k неведомых объявляются свободными, т.е. принимающими произвольные значения, а другие k неведомых выражаются из уравнений системы через их.

Замечание. Для контроля вычислений в расширенную матрицу системы вводится дополнительный (контрольный ) столбец, элементы которого равны суммам частей соответственной строчки расширенной матрицы. При Э.П. строк матрицы такому же преобразованию Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы. должны подвергнуться и элементы контрольного столбца. Контролем служит тот факт, что и после проведенного преобразования элементы контрольного столбца вновьравны сумме частей соответственной строчки. Нарушение этого условия показывает на ошибку в вычислениях.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение. Составим расширенную матрицу системы вкупе с контрольным столбцом и обозначим каждую строчку Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы. приобретенной матрицы буковкой , где i – номер строчки: .

1-ый шаг: приведём данную матрицу к треугольному либо ступенчатому виду, т.е. к такому, когда для - первому ненулевому элементу i-ой строчки все элементы матрицы, стоящие ниже и левее - нулевые.

Потому что в первой строке 1-ый элемент , то при помощи Э.П Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы.. добьёмся, чтоб ниже (т.е. во 2-ой, 3-ей и 4-ой строчках) в первом столбце стояли нули. Для этого все элементы умножим на (-2) и сложим с , потом умножим на (-1) и (-3) и сложим соответственно с элементами и . Тогда получим:

При Э.П. тем же преобразованиям подвергаются и элементы контрольного столбца, а Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы. потом вновь, суммируя элементы строчки матрицы (А|В), ассоциируют сумму с подходящим элементом контрольного столбца. Если эти числа совпали, то арифметические преобразования выполнены верны, если – нет, то нужно отыскать ошибки в вычислениях.

2-ой шаг: сейчас нужно под вторым элементом строчки получить в строчках и нули. На первом шаге способа Гаусса роль Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы. такового элемента делала единица, что было комфортно при вычислениях. Потому поменяем местами и , сразу умножив на (-1), т.е. .

На 3-ем шаге способа Гаусса добьёмся, чтоб в строке 1-ый, хороший от нуля, элемент был единицей. Для этого умножим строчку на (-1) и прибавим к третьей, а потом, умножая на (-4) сложим с Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы. :

.

Получена треугольная матрица, т.к. по главной диагонали стоят числа, хорошие от нуля (единицы), а ниже неё – нули.

Как следует, данная система уравнений имеет единственное решение. Для его нахождения выпишем по приобретенной матрице подобающую систему уравнений: . Из последнего уравнения имеем, что . Подставляя это значение в предшествующее уравнение, найдём либо Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы. . Из второго уравнения определяем


либо , а из первого уравнения находим либо .

Таким макаром, система уравнений имеет единственное решение (1; 2; 3; 4).

Пример 2. Решить систему уравней:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы вкупе с контрольным столбцом и при помощи шагов способа Гаусса приведём её к ступенчатому виду:

.

Получена ступенчатая матрица, для которой Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы. запишем подобающую систему уравнений: . Потому что эта система после исключения неведомых приведена к ступенчатому виду, в каком число неведомых

n = 3 больше числа уравнений k = 2, из которых их нужно найти, то система неопределённа, другими словами имеет бессчетное огромное количество решений.

Для его нахождения определяем число свободных неведомых: . Как следует, одно из неведомых можно Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы. считать свободным, т.е. принимающим произвольные значения. В качестве него лучше выбирать то неведомое, которое заходит сходу во все уравнения получившейся системы. Такими в данном примере являются и . Выберем в качестве свободного неведомого . Тогда из второго уравнения выражаем через : . Подставляя полученную связь меж и в 1-ое уравнение, найдём зависимость от Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы. : либо .

Откуда совсем имеем: .

Таким макаром, система имеет бессчетное огромное количество решений: ; ; .

Пример 3. Решить систему уравнений .

Решение.

.

Потому что последней строке приобретенной матрицы соответствует уравнение , которое является противоречивым, то система несовместна.


elementi-logicheskogo-formatirovaniya.html
elementi-mashinovedeniya-4-chas-obrazovatelnie-programmi-po-predmetam-osnovnogo-obshego-obrazovaniya-municipalnogo.html
elementi-matematicheskoj-logiki.html